贝塞尔曲线(Bézier Curve)

如图，蓝色的是贝塞尔曲线，起点是，终点是。这四个点都是控制点，用于控制曲线的方向。

de Casteljau算法

如图，有3个控制点，它将会画出2次贝塞尔曲线（n个控制点得到的是n-1次曲线）：

选定一个参数，我们要通过它确定曲线上对应的一点，如果取完所有t，那么就会得到贝塞尔曲线。

如图，在上取一个t，进行线性插值，得到：

同理，在上取相同的t，进行线性插值，得到：

最后，连接这两个点，按同一个t再次进行线性插值，直到无法进行这样子的操作，这时候，得到的点就是贝塞尔曲线上，特定t对应的点：

同理，4个控制点画出的三次贝塞尔曲线，其中一个点的确定过程如图：

贝塞尔曲线方程

以3个控制点的2次贝塞尔曲线为例，取参数t，曲线上某点的方程如下：

可以发现，这是个关于t的二次方程，且系数有一些类似于二项式的规律，总结得到：

PS：表示。

性质

1. 必定经过起始与终止两个控制点

2. 必定经与起始与终止线段相切

3. 具有仿射变换性质，可以通过移动控制点移动整条曲线

4. 凸包性质，曲线一定不会超出所有控制点构成的多边形范围

   PS：什么是凸包(Convex Hull)？

   能够包括给定的这些几何形体的最小的凸多边形就是凸包。

分段贝塞尔曲线

高阶贝塞尔曲线的控制点很多，很难控制局部的贝塞尔曲线形状：

因此，可以进行分段处理，将一条高次曲线分成许多条低次曲线，然后连接起来。通常，低次曲线是3次的（4个控制点）。

如果想要使得拼接的点看起来较为光滑的话，就要满足一些连续条件：

• C0连续：几何上连续，即前面曲线的终点和后面曲线的起点重合。
• C1连续：导数上连续，即满足C0后，前面曲线最后两个点距离和后面曲线最先两个点距离也要相同。
• C2连续：曲率上连续。
• …

还有贝塞尔曲线的升阶降阶等操作没说，待补充

（入门课，没说多少，待补充。参考清华大学-计算机图形学基础（国家级精品课）_哔哩哔哩_bilibili）

其他曲线

B-样条曲线(B-Spline)

样条曲线：

而B-样条曲线则通过基函数（各种各样的伯恩斯坦多项式组成）绘制而成，是贝塞尔曲线的扩展，它拥有比分段贝塞尔曲线更好的局部性。

NURBS曲线

NURBS曲线可以得到一些B样条曲线无法精准描述的圆锥曲线，如下图:

（入门课，没说多少，待补充。参考清华大学-计算机图形学基础（国家级精品课）_哔哩哔哩_bilibili）

贝塞尔曲面

从二维拓展到三维，我们可以得到贝塞尔曲面：

接下来康康贝塞尔曲面生成的过程：

1. 首先规定16个控制点，两个参数。将点分为四组，一竖列一组，这是它们的俯视图：

2. 用第一个参数u和贝塞尔曲线的知识，得到每组生成的贝塞尔曲线：

   换到正常视角是这样的：

3. 在四条曲线上各取一点，形成一条贝塞尔曲线，再用第二个参数v，线动成面：

参考资料

• GAMES101-现代计算机图形学入门
• 计算机图形学十：贝塞尔曲线与贝塞尔曲面 - 知乎 (zhihu.com)